Question

觀察下列等式：（x²+x+1）=1；（x²+x+1）¹=x²+x+1；（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1；（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1；…；可能以推測，（x²+x+1）⁵展開式中，第五、六、七項的系數(shù)和是     ．

Answer 1

【答案】分析：利用多項式乘法的法則得到各項的構(gòu)成方法求出展開式各項的系數(shù)和．
解答：解：展開式的第五項是含x⁶的項；其構(gòu)成是5個多項式3個出x²，其它都出1；5個多項式2個出x²，2個出x，其它出1；
5個多項式1個出x²，4個出x
其系數(shù)為C₅³+C₅²C₃²+C₅¹=45
展開式的第6項同樣的方法其系數(shù)為C₅²C₃¹+C₅¹C₄³+1=51
展開式的第7項同樣的方法其系數(shù)為C₅²+C₅¹C₄²+C₅⁴=45
所以展開式中，第五、六、七項的系數(shù)和是35+51+45=141
故答案為141
點評：本題考查利用分類計數(shù)原理和分布計數(shù)原理求出完成事件的方法數(shù)．