Question

定義在R上的奇函數(shù)y=f（x） 滿足f（3）=0，且不等式f（x）＞-xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，則函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系．結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵不等式f（x）＞-xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，
∴不等式f（x）+xf′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
即[xf（x）]′=f（x）+xf′（x）＞0，
即xf（x）在（0，+∞）遞增，
∵在R上的奇函數(shù)y=f（x） 滿足f（3）=0，
∴xf（x）為偶函數(shù)且有一個(gè)零點(diǎn)為3，
令g（x）=0得xf（x）=-lg|x+1|，
如圖可知g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．注意要數(shù)形結(jié)合．