Question

已知函數f（x）=2^2x+1-m•2^x+m．（m∈R）
（1）若函數f（x）在區(qū)間[0，2]有兩個零點，求m的范圍；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）的最小值為1，求m的值．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）問題轉化為方程2t²-mt+m=0在區(qū)間[1，4]有2個不等實根，列出不等式組，解出即可；
（2）通過討論m的范圍，從而綜合得到結論．

解答： 解：令t=2^x，則2x+1=2t²，
∴g（t）=2t²-mt+m，
（1）當0≤x≤2時，1≤t≤4，
∴方程2t²-mt+m=0在區(qū)間[1，4]有2個不等實根，
∴

△=m2-8m＞0 1≤ m 4 ≤4 g(1)=2≥0 g(4)=32-3m≥0

，解得：8＜m≤

32

3

；
（2）當m≥1時，t≥2，g（t）=2(t-

m

4

)2+m-

m2

8

，
當

m

4

≤2時，即m≤8時，g（t）_min=g（2）=8-m=1，∴m=7，適合，
當

m

4

＞2時，即m＞8時，g（t）_min=m-

m2

8

=1，∴m=4±2

2，

舍去，
綜上，m=7．

點評：本題考查了函數的零點問題，考查了轉化思想，分類討論思想，是一道中檔題．