已知函數(shù)f(x)=a(x-
1
x
)-2lnx(a∈R).
(1)當(dāng)-1<a<1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-
a
x
,若至少存在一個(gè)x0∈[1,4],使得f(x0)>g(x0)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求出函數(shù)定義域,分①當(dāng)-1<a≤0,②當(dāng)0<a<1兩種情況討論解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可;
(2)存在一個(gè)x0∈[1,4]使得f(x0)>g(x0),則ax0>2lnx0,利用參數(shù)分離法,利用導(dǎo)數(shù)易求其最小值.
解答: 解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=a(1+
1
x2
-
2
x
=
ax2-2x+a
x2
. 
設(shè)h(x)=ax2-2x+a
①當(dāng)-1<a≤0時(shí),h(x)=ax2-2x+a<0在(0,+∞)上恒成立,
則h(x)=ax2-2x+a(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
此時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 
②若0<a<1,△=4-4a2>0,
由f′(x)>0,即h(x)>0,得0<x<
1-
1-a2
a
或x>
1+
1-a2
a
; 
由f′(x)<0,即h(x)<0,得
1-
1-a2
a
<x<
1+
1-a2
a
;
即-1<a≤0時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞),
0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,
1-
1-a2
a
)和(
1+
1-a2
a
,+∞);
單調(diào)遞減區(qū)間為(
1-
1-a2
a
,
1+
1-a2
a
).    
(2)因?yàn)榇嬖谝粋(gè)x0∈[1,4]使得f(x0)>g(x0),
則ax0>2lnx0,等價(jià)于a>
2lnx0
x0

令F(x)=
2lnx
x
,等價(jià)于“當(dāng)x∈[1,4]時(shí),a>F(x)min”.
對(duì)F(x)求導(dǎo),得F′(x)=
2(1-lnx)
x2

因?yàn)楫?dāng)x∈[1,e]時(shí),F(xiàn)′(x)≥0,所以F(x)在[1,e]上單調(diào)遞增.
當(dāng)x∈[e,4]時(shí),F(xiàn)′(x)<0,所以F(x)在[e,4]上單調(diào)遞減.
所以F(x)min=F(1)=0,因此a>0.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的最值問題,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,對(duì)于“能成立”問題及“恒成立”問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
),
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
),且
m
n
的夾角是
π
3

(1)求角C;
(2)已知c=
7
2
,三角形的面積S=
3
3
2
,求a+b.

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求橢圓x2+4y2=16的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng),離心率,焦點(diǎn)坐標(biāo),頂點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
x
,且f(1)=0
(1)求a的值;
(2)用定義證明f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù).

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計(jì)算對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx對(duì)應(yīng)于x取
1
e3
,
1
e2
,
1
e
,1,e 
1
2
,e2時(shí)的函數(shù)值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,則
1
x
+
1
y
的最小值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)向量
i
=(1,0),
j
=(0,1),若向量
a
滿足|
a
-2
i
|+|
a
-
j
|=
5
,則|
a
+2
j
|
的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若集合P滿足P⊆{x|1≤2x<16,x∈N*},且P中至少有一個(gè)奇數(shù),則這樣的集合P共有
 
個(gè).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f1(x)=x
1
2
,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,則f1(f2(f3(2013)))=
 

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