Question

已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為。

（1）   求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和

 

Answer 1

【答案】

 （1），或.

（2）

【解析】考察等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，和前n項(xiàng)和公式及基本運(yùn)算。

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，

由題意得 解得或               

所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，或.

故，或.                                         

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，分別為，，，不成等比數(shù)列；

當(dāng)時(shí)，，，分別為，，，成等比數(shù)列，滿足條件.

故 

記數(shù)列的前項(xiàng)和為.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)， 

. 當(dāng)時(shí)，滿足此式.

綜上， 

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，求和，分段函數(shù)的應(yīng)用等；考查分類討論的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解的能力.求等差數(shù)列的通項(xiàng)一般利用通項(xiàng)公式求解；有時(shí)需要利用等差數(shù)列的定義：（為常數(shù)）或等比數(shù)列的定義：（為常數(shù)，）來(lái)判斷該數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后再求解通項(xiàng)；有些數(shù)列本身不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，但它含有無(wú)數(shù)項(xiàng)卻是等差數(shù)列或等比數(shù)列，這時(shí)求通項(xiàng)或求和都需要分段討論.來(lái)年需注意等差數(shù)列或等比數(shù)列的簡(jiǎn)單遞推或等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的性質(zhì).