Question

Q是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為左、右焦點(diǎn)，過F₁作∠F₁QF₂外角平分線的垂線交F₂Q的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，當(dāng)Q點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是（　�。�

• A、直線
• B、圓
• C、橢圓
• D、雙曲線

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)等腰三角形“三線合一”，得到|QP|=|F₁Q|，可得|QF₁|+|QF₂|=|QP|+|QF₂|=|PF₂|，結(jié)合橢圓的定義可得|PF₂|=2a，即動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F₂的距離為定值2a，由此即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡對(duì)應(yīng)的圖形．

解答： 解：設(shè)從F₁引∠F₁QF₂的外角平分線的垂線，垂足為R
∵△PF₁Q中，RQ是∠F₁QF₂的平分線
∴|QP|=|F₁Q|，可得|QF₁|+|QF₂|=|QP|+|QF₂|=|PF₂|
根據(jù)橢圓的定義，可得|QF₁|+|QF₂|=2a，
∴|PF₂|=2a，即動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F₂的距離為定值2a，
因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F₂為圓心，半徑為2a的圓．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上動(dòng)點(diǎn)Q，求點(diǎn)P的軌跡方程，著重考查了橢圓的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及等腰三角形“三線合一”等知識(shí)，屬于中檔題．