Question

【題目】函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸之間的最短距離為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）寫出函數(shù)的解析式；

（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得在上恰有2017個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）或時(shí)，；時(shí)，

【解析】

（1）由對(duì)稱軸及圖像上一點(diǎn)，待定系數(shù)可得函數(shù)解析式；

（2）求值域，換元后，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問(wèn)題求參數(shù)；

（3）將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題，先考慮一個(gè)周期的情況，再進(jìn)行延拓.

（1）的圖象的對(duì)稱軸之間的最短距離為，

故其周期為，解得；

又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，

解得

又因?yàn)?/span>，故可得，

故.

（2）若對(duì)任意的，，

故，

因?yàn)?/span>恒成立，

令，

恒成立，只需：

，且，

解得.

（3）∵在上恰有2017個(gè)零點(diǎn)，

故的圖象和直線在上恰有2017個(gè)交點(diǎn).

先考慮在在上的交點(diǎn)情況，

不妨作出在上的圖像如下：

①當(dāng)，或時(shí)，

的圖象和直線在上無(wú)交點(diǎn).

②當(dāng)，或時(shí)，

的圖象和直線在僅有一個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)，的圖象和直線在上恰有2017個(gè)交點(diǎn)，

則.

③當(dāng)，或時(shí)，

的圖象和直線在上恰有2個(gè)交點(diǎn)，

的圖象和直線在上有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，不會(huì)有2017個(gè)交點(diǎn).

④當(dāng)時(shí)，

的圖象和直線在上恰有3個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)，，才能使的圖象和直線在上有2017個(gè)交點(diǎn).

綜上可得，當(dāng)，或時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)，.