Question

已知向量

a

=(2sin

x

4

，

3

sin

x

4

)，

b

=(cos

x

4

，-2sin

x

4

)，設f(x)=

a

•

b

+

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）當x∈[0，π]時，求函數(shù)f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：計算題

分析：通過向量的數(shù)量積，利用兩角和的正弦函數(shù)，求出函數(shù)的解析式，
（1）直接求出函數(shù)的周期．
（2）通過x的范圍，求出

x

2

+

π

3

的范圍，利用三角函數(shù)的值域求出函數(shù)的值域即可．

解答： 解：先由已知f(x)=

a

•

b

+

3

，

a

=(2sin

x

4

，

3

sin

x

4

)，

b

=(cos

x

4

，-2sin

x

4

)
得f(x)=2sin(

x

2

+

π

3

)…..（4分）
（1）f（x）的最小正周期T=4π…..（6分）
（2）當x∈[0，π]時，

x

2

+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，所以

1

2

≤sin(

x

2

+

π

3

)≤1，故1≤2sin(

x

2

+

π

3

)≤2
所以函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為1．…..（12分）

點評：本題考查向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的化簡求值，周期的求法，考查基本知識的靈活運用．