Question

甲、乙兩人進(jìn)行投籃，每人各投4個球，甲投籃命中的概率為

1

2

，乙投監(jiān)命中的概率為

2

3

，兩人相互不受影響，每次投籃結(jié)果也不受影響．
（1）求甲至多命中2個且乙至少命中3個的概率；
（2）若規(guī)定每投籃一次命中得3分，未命中和-1分，求乙所得分?jǐn)?shù)η的分布列與期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：計(jì)算題

分析：（1）先求出甲至多命中2個的概率和乙至少命中3個的概率，再求甲至多命中2個且乙至少命中3個的概率．
（2）由題設(shè)知η的取值為-4，0，4，8，12，分別求出P（η=-4），P（η=0），P（η=4），P（η=8）和P（η=12）的值，由此能求出η的分布列和Eη．

解答： 解：（1）甲至多命中2個的概率為：1-

C

3 4

(

1

2

)3•

1

2

-

C

4 4

(

1

2

)4=

11

16

，
乙至少命中3個的概率為：

C

3 4

(

2

3

)3•

1

3

+

C

4 4

(

2

3

)4=

16

27

，
∴甲至多命中2個且乙至少命中3個的概率P=

11

16

×

16

27

=

11

27

．
（2）由題設(shè)知η的取值為-4，0，4，8，12，
P（η=-4）=

C

0 4

(1-

2

3

)4=

1

81

，
P（η=0）=

C

1 4

•

2

3

•(1-

2

3

)3=

8

81

，
P（η=4）=

C

2 4

(

2

3

)2(1-

2

3

)2=

24

81

，
P（η=8）=

C

3 4

(

2

3

)3(1-

2

3

)=

32

81

，
P（η=12）=

C

4 4

(

2

3

)4=

16

81

．
∴η的分布列為：

η	-4	0	4	8	12
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

Eη=-4×

1

81

+0×

8

81

+4×

24

81

+8×

32

81

+12×

16

81

=

20

3

．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型．解題時要認(rèn)真審題，注意概率知識和排列組合知識的靈活運(yùn)用．