Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2x+1

+m，m∈R．
（1）若m=-

1

2

，求證：函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)?br>f（x）+f（-x）=

1

2x+1

-

1

2

+

1

2-x+1

-

1

2

=

1

2x+1

-

1

2

+

2x

2x+1

-

1

2

=0，
所以函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
（2）f'（x）=-

2xln2

(1+2x)2

＜0，
∴f（x）是實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)遞減函數(shù)（不說(shuō)明單調(diào)性扣2分）
又函數(shù)f（x）的圖象不間斷，在區(qū)間（1，2）恰有一個(gè)零點(diǎn)，有f（1）f（2）＜0
即（m+

1

3

）（m+

1

5

）＜0解之得-

1

3

＜m＜-

1

5

，故函數(shù)
f（x）在區(qū)間（1，2）沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥-

1

5

或m≤-

1

3

…（14分）