Question

設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₂₇+27³S₉=（3⁹+1）S₁₈，則數(shù)列{a_n}的公比為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分別設(shè)出等比數(shù)列的首項和公比，分類寫出等比數(shù)列的前n項和，分析q=1時不成立，當(dāng)q≠1時由S₂₇+27³S₉=（3⁹+1）S₁₈求解q的值．

解答： 解：設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
當(dāng)q=1時，有27a1+273×9a1=(39+1)×18a1，
此式只有a₁=0時成立，不合題意；
當(dāng)q≠1時，
則S9=

a1(1-q9)

1-q

，S18=

a1(1-q18)

1-q

，S27=

a1(1-q27)

1-q

，
代入S₂₇+27³S₉=（3⁹+1）S₁₈，得

a1(1-q27)

1-q

+273×

a1(1-q9)

1-q

=(39+1)×

a1(1-q18)

1-q

，
整理得：q¹⁸-（3⁹+1）q⁹+3⁹=0．
解得：q=3．
故答案為：3．

點評：本題考查了等比數(shù)列的前n項和，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．