Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（a為常數(shù)）是R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0所以a=0．…（3分）
（2）g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立
∴λ≤-cosx．…（5分）
又∵cosx∈[cos1，1]，∴-cosx∈[-1，-cos1]．∴λ≤-1．…（8分）
（3）∵g（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1．
只需-λ-sin1≤t²+λt+1．∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0，其中λ≤-1恒成立．…（10分）
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1，
則 ∴
而t²-t+sin1≥0恒成立，
∴t≤-1．…（13分）
分析：（1）直接根據(jù)函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，則f（0）=0解之即可求出a的取值；
（2）利用g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立得出λ≤-cosx再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求λ的取值范圍；
（3）先利用函數(shù)g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，求出其最大值，再把g（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立轉(zhuǎn)化為其最大值小于等于t²-λt+1恒成立，進(jìn)而得到（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用二次函數(shù)恒成立問題的解法即可求t出的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．