Question

9．（1）求函數(shù)$f（x）=x+\sqrt{1-2x}$的值域；
（2）已知$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=3x-2$，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)t=$\sqrt{1-2x}$，求出t的范圍和x的表達(dá)式，代入f（x）化簡(jiǎn)后，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)和t的范圍，求出函數(shù)f（x）的值域；
（2）令x取$\frac{1}{x}$代入原方程化簡(jiǎn)，與原方程聯(lián)立后求出f（x）的解析式．

解答 解：（1）設(shè)t=$\sqrt{1-2x}$，則t≥0，x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
代入f（x）得，y=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$+t=$-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$，
因?yàn)閠≥0，所以函數(shù)y的最大值是1，
即函數(shù)f（x）的值域是[1，+∞）；
（2）由題意得，$f（x）+2f（\frac{1}{x}）=3x-2$，①
令x取$\frac{1}{x}$代入得，$f（\frac{1}{x}）+2f（x）=\frac{3}{x}-2$，②
由①②解得f（x）=$\frac{2}{x}-x-\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查換元法求函數(shù)的值域，列方程法求函數(shù)的解析式，以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．