Question

已知經(jīng)過函數(shù)f（x）=ax³+bx²圖象上一點(diǎn)P（-1，2）處的切線與直線y=-3x平行，則函數(shù)f（x）=

x³+3x²

．

Answer 1

分析：將P的坐標(biāo)代入f（x）的解析式，得到關(guān)于a，b的一個(gè)等式；求出導(dǎo)函數(shù)，求出f′（-1）即切線的斜率，利用平行的兩直線的斜率相等，列出關(guān)于a，b的另一個(gè)等式，解方程組，求出a，b的值即可．

解答：解：∵f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（-1，2），
∴-a+b=2①式 …（1分）
f'（x）=3ax²+2bx，則f'（-1）=3a-2b…（3分）
由條件 f′（-1）=-3即3a-2b=-3②式…（5分）
由①②式解得a=1，b=3，
則函數(shù)f（x）=x³+3x²
故答案為：x³+3x²

點(diǎn)評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、直線平行的充要條件等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．