設(shè)An為數(shù)列{an}的前n項和,且有An=
3
2
(an-1)(n∈N+),數(shù)列{an}的通項公式為bn=4n+3(n∈N+).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若d∈{a1,a2,…an}∩{b1,b2,…bn},則稱d為數(shù)列{an}與{bn}的公共項.如果將數(shù)列{an}與{bn}的公共項按它們在原數(shù)列的順序排成一個新的數(shù)列{dn},求{dn}的通項公式.
考點(diǎn):數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列遞推式
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由An=
3
2
(an-1)(n∈N+),再寫一式,兩式相減,由此能求出數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)a1、a2不是數(shù)列{bn}中的項.a(chǎn)3=27=4×6+3,d1=27是數(shù)列{bn}中的第6項,設(shè)ak=3k是數(shù)列{bn}中的第m項,則3k=4m+3(k、m∈N*).再證明ak+1不是數(shù)列{bn}中的項.a(chǎn)k+2是數(shù)列{bn}中的項.所以d1=a3,d2=a5,d3=a7,…,dn=a2n+1,由此求出數(shù)列{dn}的通項公式.
解答: 解:(1)∵An=
3
2
(an-1)(n∈N*),
∴a1=3.
當(dāng)n≥2時,an=An=
3
2
(an-1)-
3
2
(an-1-1),
∴an=3an-1(n≥2).
∴數(shù)列{an}是以3首項,公比為3的等比數(shù)列,
∴an=3•3n-1=3n(n∈N*);
(2)由(Ⅰ)知a1、a2顯然不是數(shù)列{bn}中的項.
∵a3=27=4×6+3,
∴d1=27是數(shù)列{bn}中的第6項,
設(shè)ak=3k是數(shù)列{bn}中的第m項,則3k=4m+3(k、m∈N*).
∵ak+1=3k+1=3×3k=3(4m+3)=4(3m+2)+1,
∴ak+1不是數(shù)列{bn}中的項.
∵ak+2=3k+2=9×3k=9(4m+3)=4(9m+6)+3,
∴ak+2是數(shù)列{bn}中的項.
∴d1=a3,d2=a5,d3=a7,…,dn=a2n+1,
∴數(shù)列{dn}的通項公式是dn=32n+1(n∈N*).
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,考查數(shù)列的通項,考查等比數(shù)列的證明,解題時要認(rèn)真審題,注意公式的合理運(yùn)用.
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