Question

11．某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動：對首次消費(fèi)的顧客，按200元/次收費(fèi)，并注冊成為會員，對會員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如表：

消費(fèi)次第	第1次	第2次	第3次	第4次	≥5次
收費(fèi)比例	1	0.95	0.90	0.85	0.80

該公司從注冊的會員中，隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

消費(fèi)次第	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次
頻數(shù)	60	20	10	5	5

假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：
（1）估計(jì)該公司一位會員至少消費(fèi)兩次的概率；
（2）某會員僅消費(fèi)兩次，求這兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤；
（3）以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，設(shè)該公司為一位會員服務(wù)的平均利潤為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）100位會員中，至少消費(fèi)兩次的會員有40人，即可得出估計(jì)一位會員至少消費(fèi)兩次的概率．
（2）該會員第一次消費(fèi)時，公司獲得利潤為200-150=50（元），第2次消費(fèi)時，公司獲得利潤為200×0.95-150=40（元），即可得出公司這兩次服務(wù)的平均利潤．
（3）由（2）知，一位會員消費(fèi)次數(shù)可能為1次，2次，3次，4次，5次，當(dāng)會員僅消費(fèi)1次時，利潤為50元，當(dāng)會員僅消費(fèi)2次時，平均利潤為45元，當(dāng)會員僅消費(fèi)3次時，平均利潤為40元，當(dāng)會員僅消費(fèi)4次時，平均利潤為35元，當(dāng)會員僅消費(fèi)5次時，平均利潤為30元，故X的所有可能取值為50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．

解答 解：（1）100位會員中，至少消費(fèi)兩次的會員有40人，
∴估計(jì)一位會員至少消費(fèi)兩次的概率為$P=\frac{40}{100}=0.4$．
（2）該會員第一次消費(fèi)時，公司獲得利潤為200-150=50（元），
第2次消費(fèi)時，公司獲得利潤為200×0.95-150=40（元），
∴公司這兩次服務(wù)的平均利潤為$\frac{50+40}{2}=45$（元）．
（3）由（2）知，一位會員消費(fèi)次數(shù)可能為1次，2次，3次，4次，5次，當(dāng)會員僅消費(fèi)1次時，利潤為50元，當(dāng)會員僅消費(fèi)2次時，平均利潤為45元，當(dāng)會員僅消費(fèi)3次時，平均利潤為40元，當(dāng)會員僅消費(fèi)4次時，平均利潤為35元，當(dāng)會員僅消費(fèi)5次時，平均利潤為30元，
故X的所有可能取值為50，45，40，35，30，X的分布列為：

X	50	45	40	35	30
P	0.6	0.2	0.1	0.05	0.05

X數(shù)學(xué)期望為E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．

點(diǎn)評 本題考查了頻率與概率的關(guān)系、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．