已知函數(shù)f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：數(shù)學(xué)公式．

解：（Ⅰ），因為x=0是f（x）的一個極值點，∴f'（0）=0，∴a=0驗證知a=0符合條件．------------2分
（Ⅱ）因為
1）若a=0時，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；
2）若，∴f（x）在R上單調(diào)遞減；
3）若-1＜a＜0時，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0∴∴，
在；
綜上所述，若a≤-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，
若-1＜a＜0時，，
若a=0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減．---------8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（0，+∞）時，由f（x）＜f（0）=0∴l(xiāng)n（1+x2）＜x
∴
∴---------------------13分
分析：（Ⅰ）求出f′（x），因為f（x）在x=0時取得極值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；
（Ⅱ）分三種情況：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函數(shù)的遞增區(qū)間；令f′（x）＜0得到函數(shù)的遞減區(qū)間即可；（Ⅲ）由（2）知當(dāng)a=-1時函數(shù)為減函數(shù)，所以得到ln（1+x2）＜x，利用這個結(jié)論根據(jù)對數(shù)的運算法則化簡不等式的左邊得證即可．
點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會利用單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)運算證明不等式．會求等比數(shù)列的前n項的和．以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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