Question

定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)在定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①f（x）=3x+2②f（x）=x²③f（x）=2^x④f（x）=

1

x

⑤f（x）=lnx
其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的是

 

  （填序號）

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先，審題，然后，針對給定的函數(shù)進行逐個驗證，是否符合“保等比數(shù)列函數(shù)”的性質(zhì)即可．

解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則
對于①：
設(shè)b_n=f（a_n）=3a_n+2，
∴

bn+1

bn

=

3an+1+2

3an+2

≠（常數(shù)），
∴它不是保等比數(shù)列函數(shù)；
對于②：
設(shè)b_n=f（a_n）=a_n2，
∵

bn+1

bn

=(

an+1

an

)2=q2，
∴它是保等比數(shù)列函數(shù)；
對于③：
設(shè)b_n=f（a_n）=2^a_n，
∵

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=2an+1-an
顯然它不是一個常數(shù)，
∴它不是保等比數(shù)列函數(shù)；
對于④：
設(shè)b_n=f（a_n）=

1

an

，
∵

bn+1

bn

=

1

an+1

×an=

1

q

（常數(shù)），
∴它是保等比數(shù)列函數(shù)；
對于⑤：
設(shè)b_n=f（a_n）=lna_n，
∵

bn+1

bn

=

lnan+1

lnan

，
它顯然不是一個常數(shù)，
所以它不是保等比數(shù)列函數(shù)；
綜上，得到符合保等比數(shù)列函數(shù)的為：②④．
故答案為：②④．

點評：本題重點考查了等比數(shù)列的概念和判定方法、數(shù)列和函數(shù)綜合運用等知識，屬于創(chuàng)新題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解“保等比數(shù)列函數(shù)”的概念．