Question

在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D′是棱A′C′的中點，且AA′=2

2

．
（Ⅰ）試在棱CC′上確定一點M，使A′M⊥平面AB′D′；
（Ⅱ）當(dāng)點M在棱CC′中點時，求直線AB′與平面A′BM所成角的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由直三棱柱的性質(zhì)得到B'D'⊥平面ACC'A'，進(jìn)一步得到B'D'⊥A'M，根據(jù)線面垂直的判定定理，只要A'M⊥AD'即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出

AB′

，

A′M

，

A′B

的坐標(biāo)，借助于向量的數(shù)量積求線面角的正弦值．

解答： 解：（1）∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D′是棱A′C′的中點，
∴B'D'⊥A'C'，
∴B'D'⊥平面ACC'A'，
∴B'D'⊥A'M，
∴在棱CC′上確定一點M，使A′M⊥平面AB′D′，只要過A'作A'M⊥AD'交CC'與點M；
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因為直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D′是棱A′C′的中點，且AA′=2

2

．
所以A（0，0，0），B'（

3

，1，2

2

），A'（0，0，2

2

），B（

3

，1，0），
M（0，2，

2

），
所以

AB′

=（

3

，1，2

2

），

A′M

=（0，2，-

2

），

A′B

=（

3

，1，-2

2

），
設(shè)平面A'BM的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • A′M =0 n • A′B =0

，即

2y- 2 z=0 3 x+y-2 2 z=0

，令y=1，則

n

=（

3

，1，

2

），
cos＜

n

，

AB′

＞=

n • AB′

|n| | AB′|

=

8

12 6

=

2 2

3

；
所以當(dāng)點M在棱CC′中點時，直線AB′與平面A′BM所成角的大小為arcsin

2 2

3

．

點評：本題考查了正三棱柱的性質(zhì)以及線面垂直、線面角的求法，關(guān)鍵是正確利用正三棱柱的性質(zhì)以及借助于空間向量的數(shù)量積求線面角的大小，適當(dāng)建立坐標(biāo)系，正確寫出所需向量的坐標(biāo)，屬于中檔題．