Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），求實(shí)數(shù)c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)f（x）=x²+ax+b的值域?yàn)閇0，+∞）求出b與a的關(guān)系，然后結(jié)合f（x）＜c的解集為（m，m+6），利用韋達(dá)定理建立等式，從而可求出c的值．

解答： 解：∵f（x）=x²+ax+b的值域?yàn)閇0，+∞），∴△=0，
∴b-

a2

4

=0，∴f（x）=x²+ax+

1

4

a²．
又∵f（x）＜c的解集為（m，m+6），
∴m，m+6是方程x²+ax+

a2

4

-c=0的兩根，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

2m+6=-a m(m+6)= a2 4 -c

解得c=9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，以及函數(shù)值域的應(yīng)用，同時(shí)考查了分析問題的能力和運(yùn)算求解的能力．