Question

已知函數(shù)f（x）=a^|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，試求a、b應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，得到對(duì)任意的∈R，都有f（-x）=f（x），求出b；
（2）記h（x）=|x+b|=

x+b，x≥-b -x-b，x＜-b

，討論a值得到b的范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，∴對(duì)任意的∈R，都有f（-x）=f（x），
即a^|x+b|=a^|-x+b|，所以|x+b|=|-x+b|
得 b=0．

（2）記h（x）=|x+b|=

x+b，x≥-b -x-b，x＜-b

，
①當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，即h（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴-b≤2，b≥-2
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，即h（x）在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)但h（x）在區(qū)間[-b，+∞）上是增函數(shù)，故不可能
∴f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)時(shí)，a、b應(yīng)滿(mǎn)足的條件為a＞1且b≥-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的運(yùn)用以及討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．