Question

設(shè)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，若已知點(diǎn)(n，

Sn

n

)均在函數(shù)y=x+1圖象上，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

4

anan+1

，設(shè)T_n是{b_n}前n項(xiàng)和，求使m＞T_n對(duì)所有n∈N^*都成立的m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得到數(shù)列遞推式，即數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）把（1）中求得的通項(xiàng)代入b_n=

4

anan+1

，整理后利用裂項(xiàng)相消法求和，求出T_n的范圍，則答案可求．

解答： 解：（1）由條件知

Sn

n

=2n-1，
即Sn=2n2-n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-3．
又n=1時(shí)，a₁=s₁=1符合上式，
∴a_n=4n-3（n∈N^*）；
（2）b_n=

4

anan+1

=

4

(4n-3)(4n+1)

=

1

4n-3

-

1

4n+1

．
∴T_n=1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

=1-

1

4n+1

=

4n

4n+1

=1-

1

4n+1

＜1．
∴m≥1．
即使m＞T_n對(duì)所有n∈N^*都成立的m的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．