等邊三角形的邊長為3,點、分別是邊上的點,且滿足 (如圖1).將△沿折起到△的位置,使二面角為直二面角,連結(jié) (如圖2).

1)求證:平面

2)在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長,若不存在,請說明理由.


1)因為等邊△的邊長為3,且,

所以,. 在△中,,

由余弦定理得. 因為,

所以

折疊后有,因為二面角是直二面角,

所以平面平面  ,又平面平面,

平面,, 所以平面

2)解法1:假設在線段上存在點,使直線與平面所成的角為

如圖,作于點,連結(jié)、 ,

由(1)有平面,而平面,

所以,又, 所以平面, 

所以是直線與平面所成的角  ,

,則,,

中,,所以 ,

中,, ,

, 得  ,解得,滿足,符合題意 

所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時

解法2:由(1)的證明,可知,平面

為坐標原點,以射線、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標系如圖 ,設, 則,, ,

所以,,,所以 ,

因為平面, 所以平面的一個法向量為 ,

因為直線與平面所成的角為, 所以,

,  解得 ,

,滿足,符合題意,

所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時


練習冊系列答案
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A.              B.    

C.              D.    

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A.5,10,15,20,25       B.2,4,8,16,32       C.5,6,7,8,9        D.5,15,25,35,45

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