Question

（本小題滿分16分）
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（）．
（1）求的值；
（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）抽去數(shù)列中的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，……，第項(xiàng)，……，余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列，若的前項(xiàng)的和為，求證：．

Answer 1

（1）
（2）見解析
（3）見解析

（1）令n=1和n=2求出數(shù)列的前2項(xiàng)；（2）利用已知式子構(gòu)造遞推式子，作差得出關(guān)于的遞推式，然后根據(jù)等比數(shù)列的概念求出數(shù)列的通項(xiàng)；（3）先根據(jù)數(shù)列的前N項(xiàng)和知識(shí)求出，然后利用放縮思想求出的范圍
解：（1）
（2），①
當(dāng)時(shí)，。②
由①-②，得
所以，

是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。
（3）由（2）得，
抽去數(shù)列中得第1項(xiàng)、第4項(xiàng)、第7項(xiàng)、…、第項(xiàng)得到數(shù)列為為
，它的奇數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)以4為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)以8為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列。
所以當(dāng)時(shí)





。
當(dāng)時(shí)





。
綜上,