11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,△ABC為正三角形,AB⊥AD,AC⊥CD,PA=AC,PA⊥平面ABCD.
(Ⅰ)點E在棱PC上,試確定點E的位置,使得PD⊥平面ABE;
(Ⅱ)求二面角A-PD-C的余弦值.

分析 (Ⅰ)以A為坐標(biāo)原點,射線AB,AD,AP分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向地能求出當(dāng)E為PC中點時,PD⊥平面ABE.
(Ⅱ)求出平面PCD的一個法向量和平面PAD的一個法向量,利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值.

解答 解:(Ⅰ)∵PC=$\sqrt{2}$PA=$\sqrt{2}AC$,∴PA⊥AC,
又∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,
∴PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AD,
以A為坐標(biāo)原點,射線AB,AD,AP分別為x,y,z軸的正方向,
建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=2,
則B(2,0,0),C(1,$\sqrt{3}$,0),D(0,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,0),P(0,0,2).(2分)
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$,故PD⊥AB,
設(shè)$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{PC}$,
∵AE⊥PD,∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0$,即$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PD}+λ\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=0,
即-4+λ•8=0,即$λ=\frac{1}{2}$,即當(dāng)E為PC中點時,AE⊥PD,
則PD⊥平面ABE.所以當(dāng)E為PC中點時,PD⊥平面ABE.…(6分)
(Ⅱ)設(shè)平面PCD的一個法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
$\overrightarrow{PC}=(1,\sqrt{3},-2)$,$\overrightarrow{PD}=(0,\frac{4\sqrt{3}}{3},-2)$,
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=\frac{4\sqrt{3}}{3}y-2z=0}\end{array}\right.$,
令x=1,則$\overrightarrow{n}$=(1,$\sqrt{3},2$),
再取平面PAD的一個法向量$\overrightarrow{m}$=(1,0,0).…(9分)
則cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,
故二面角A-PD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$.…(12分)

點評 本題考查滿足條件的點的位置的確定與求法,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.

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