Question

【題目】如圖 ，在棱長為 a 的正方體ABCD-A1 B1C1 D1 中，E 、F 分別 是棱 AB 與BC 的中點.

（1）求二 面角 B-FB1-E 的大小；

（2）求點 D 到平面B1EF 的距離；

（3）在棱 DD1 上能否找到一點 M， 使 BM ⊥平面EFB1 ? 若能， 試確定點 M 的位置；若不能， 請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) a. (3) M為DD1的中心

【解析】

（1）如圖 ，作BH ⊥B1 F ，垂足為H ， 連結 EH .

由正方體性質知EB ⊥面BB1 F，則 BH是EH 在面BB1 F內的射影.

由三垂線定理可知，EH⊥B1 F .

從而，∠EHB是二面角E-B1 F-B 的平面角.

在Rt△EBH中，由，知.

故，即二面角B-B1F-E的大小為.

（2）因為公共邊，

故.

設點 D 到面B1EF 的距離為h .

由，得.

故，即點 D 到面B1EF 的距離為a.

（3）設 EF與BD 交于G ， 連 B1G.

因 為 EF ⊥ BD ， EF ⊥ BB1 ， 所 以 EF ⊥面 BB1D1D ， 面 B1 EF ⊥面 BB1D1D .

在面 BB1 D1D 內作 BK ⊥B1G 于 K ， 延長后交DD1于 M.

由兩平面垂直的性質定理知 BM ⊥面 B1EF ， 即在 DD1上存在適合條件的點 M .

在平面 BB1D1D 中， 因△B1BG ∽△BDM ， 故.

又，故，M為DD1的中心.