Question

【題目】設(shè)曲線（a為正常數(shù)）與在x軸上方僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；

（2）O為原點(diǎn)，若與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)時(shí)，試求△OAP的面積的最大值（用a表示）.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，.（2）

【解析】

（1）由消去y，得①

設(shè)，問(wèn)題（1）轉(zhuǎn)化為方程①在上有惟一解或等根.

只須討論以下三種情況：

1°△=0得.此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)適合；

2°當(dāng)且僅當(dāng)；

3°得，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)適合.

得，此時(shí).由于，從而.

綜上可知，當(dāng)時(shí)，或；

當(dāng)時(shí)，.

（2）△OAP的面積.

因，故當(dāng)時(shí)，.

由惟一性得

顯然，當(dāng)時(shí)，取值最小.

由于，從而取值最大，此時(shí)，故.

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí).

下面比較與大大小.

令，得.

故當(dāng)時(shí)，有

此時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，有

此時(shí)，