Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短半軸長(zhǎng)為1，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求橢圓C的方程
（2）直線l與橢圓C有唯一公共點(diǎn)M，設(shè)直線l的斜率為k，M在橢圓C上移動(dòng)時(shí)，作OH⊥l于H（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，則a=2，即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m，代入橢圓方程，令△=0，得m²=4k²+1，由韋達(dá)定理可知：2x₀=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₀²=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，則OM丨²=x₀²+y₀²=$\frac{1+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，|OH|²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，由|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|，即可求得k的值．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，由題意可知b=1，
 由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，則a=2 
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；-------（4分）
（2）設(shè)直線l：y=kx+m，M（x₀，y₀）．-------（5分）
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，-------（6分）
令△=0，得m²=4k²+1，-------（7分）
由韋達(dá)定理得：2x₀=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₀²=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，-------（8分）
∴丨OM丨²=x₀²+y₀²=x₀²+（kx+m）²=$\frac{1+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$①-------（9分）
又|OH|²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，②-------（10分）
由|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|，①②聯(lián)立整理得：16k⁴-8k²+1=0-------（11分）
∴k²=$\frac{1}{4}$，
 解得：k=±$\frac{1}{2}$，
k的值±$\frac{1}{2}$．-------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．