Question

5．過(guò)點(diǎn)（2，0）引直線l與曲線$y=\sqrt{2-{x^2}}$相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $-\sqrt{3}$
• C． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 當(dāng)△AOB面積取最大值時(shí)，OA⊥OB，圓心O（0，0）到直線直線l的距離為1，由此能求出直線l的斜率．

解答 解：當(dāng)△AOB面積取最大值時(shí)，OA⊥OB，
∵曲線$y=\sqrt{2-{x^2}}$相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴圓心O（0，0），半徑r=$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴圓心O（0，0）到直線直線l的距離為1，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=2，不合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，直線l的方程為y=k（x-2），
圓心（0，0）到直線l的距離d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵k＜0，∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)△AOB的面積取到最大值時(shí)OA⊥OB，是中檔題．