Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，橢圓的極坐標(biāo)方程為，其左焦點(diǎn)在直線上.

（1）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的值；

（2）求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程可得F的坐標(biāo)為（，0），聯(lián)立直線的參數(shù)方程與橢圓方程，結(jié)合參數(shù)的幾何意義計(jì)算可得．

（2）結(jié)合橢圓方程，設(shè)橢圓C上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，4sinθ）（），據(jù)此可得內(nèi)接矩形關(guān)于的面積函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定面積S取得最大值.

（1）將代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，

得x2＋3y2＝48，即，

因?yàn)?/span>c2＝48－16＝32，所以F的坐標(biāo)為（，0），

又因?yàn)?/span>F在直線l上，所以．

把直線l的參數(shù)方程代入x2＋3y2＝48，

化簡(jiǎn)得t2－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8，

所以．

（2）由橢圓C的方程，可設(shè)橢圓C上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，4sinθ）（），

所以?xún)?nèi)接矩形的面積，

當(dāng)時(shí)，面積S取得最大值．