Question

給出下列四個命題
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若f（x）=ax²+2x+1只有一個零點，則a=1；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4；④對于任意實數(shù)x，有f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），且當x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則當x＜0時，f′（x）＞g′（x），
其中正確的命題有

 

（填所有正確的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：由全稱命題的否定形式判斷①；由函數(shù)零點的定義判斷②；由基本不等式和對數(shù)的運算判斷③；由導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、偶、奇函數(shù)的單調(diào)性的特征判斷④．

解答： 解：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，①正確；
②f（x）=ax²+2x+1只有一個零點，則方程ax²+2x+1=0有一個根，
當a=0時，2x+1=0，則a=

1

2

成立；當a≠0時，△=4-4a=1，解得a=1，
則a的值是1或

1

2

，②錯誤；
③若lga+lgb=lg（a+b），又lga+lgb=lg（ab），所以ab=a+b≤(

a+b

2

)2解得a+b≥4，
故a+b的最小值為4，③正確；
④對于任意實數(shù)x，有f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），說明f（x）為偶函數(shù)、g（x）為奇函數(shù)，
當x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則函數(shù)f（x）、g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)、g（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
則當x＜0時，f′（x）＜0，g′（x）＞0，則f′（x）＜g′（x），④錯誤；
綜上得，正確的命題有①③，
故答案為：①③．

點評：本題考查命題真假判斷與應用，解題的關鍵是熟練掌握每個命題所涉及的基礎知識與基本技能，比較綜合．