Question

設函數(shù)f（x）=e^x-ax-2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=e^x-ax-2的圖象在點A（0，-1）處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a=1，k為整數(shù)，且當x＞0時，（x-k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)k=f′（0），再根據(jù)點斜式求出切線方程．
（Ⅱ）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）求參數(shù)的取值范圍，就求k的最值問題，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，故當x＞0時，(x-k)f/(x)+x+1＞0?k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)．令g(x)=

x+1

ex-1

+x，問題轉化為求g（x）的最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax-2，x∈R，f′（x）=e^x-a，x∈R，f′（0）=1-a，
函數(shù)f（x）=e^x-ax-2的圖象在點A（0，-1）處的切線方程為y=（1-a）x-1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a，x∈R．
若a≤0，則f′（x）＞0恒成立，所以，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
若a＞0，則當x∈（-∞，lna）時，f′（x）＜0，當x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，
所以，f（x）在區(qū)間（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．
（ III）由于a=1，所以，（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（e^x-1）+x+1．
故當x＞0時，(x-k)f/(x)+x+1＞0?k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)．①
令g(x)=

x+1

ex-1

+x，則g/(x)=

-xex-1

(ex-1)2

+1=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

．
函數(shù)h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0．
所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點．
設此零點為α，則α∈（1，2）．當x∈（0，α）時，g′（x）＜0；當x∈（α，+∞）時，g′（x）＞0；
所以，g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）．由g′（α）=0，可得e^α=α+2，
所以，g（α）=α+1∈（2，3）．由于①式等價于k＜g（α）．
故整數(shù)k的最大值為2．

點評：本題主要考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的問題，求參數(shù)的取值范圍經(jīng)常就是轉化為求某個函數(shù)的最值問題．