已知函數(shù)
.
（1）若函數(shù)
在
處取得極值，且函數(shù)只有一個零點，求
的取值范圍.
（2）若函數(shù)在區(qū)間
上不是單調(diào)函數(shù)，求
的取值范圍.
（1）
；（2）
.
解析試題分析：（1）函數(shù)在處取得極值，知
，再由函數(shù)只有一個零點和函數(shù)的圖象特點判斷函數(shù)的極大值和極小值和0的大小關(guān)系即可解決，這是解決三次多項式函數(shù)零點個數(shù)的一般方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想；（2）三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，要使三次函數(shù)在
不是單調(diào)函數(shù)，則要滿足導(dǎo)數(shù)的
，要使函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，還要滿足三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在
上至少有一個零點.
試題解析：（1）
，由
，
所以
，
可知：當
時，
，單調(diào)遞增；當
時，
，
單調(diào)遞減；
當時，
，
單調(diào)遞增；而.
所以函數(shù)只有一個零點或
，解得
的取值范圍是.
.由條件知方程
在
上有兩個不等的實根，且在至少有一個根.由 ；
由
使得：
.
綜上可知：的取值范圍是.
考點：三次函數(shù)的零點、三次函數(shù)的單調(diào)性.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，其中
，
為參數(shù)，且
．
(1)當
時，判斷函數(shù)
是否有極值；
(2)要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；
(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
.
（1）當
時，試確定函數(shù)
在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)在
上的最小值；
（3）試證明：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，其中
為常數(shù)，
為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若
，且在區(qū)間
上的最大值為
，求的值；
（3）當
時，試證明：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)滿足：
①對任意的
，
，當
時，有
成立；
②對
恒成立.求實數(shù)
的取值范圍.
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.
在
上的最小值；
有兩個不同的極值點
、
且
，求實數(shù)
的取值范圍．
；（4分）
有
成立，當且僅當
時取等號.由此結(jié)論證明:
.（6分）
.
時，函數(shù)
在
上單調(diào)遞增；
.
（
且
）
的單調(diào)性；
，證明：
時，
成立