Question

已知{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，a₁=1，且點(diǎn)(

an

，an+1)（n∈N^*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b1=1，bn+1=bn+2an，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1-a_n=1，a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出a_n；
（Ⅱ）b_n+1-b_n=2ⁿ，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=2^n-1+2^n-2+…+2³+2¹+1，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+1，
即a_n+1-a_n=1．
又a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
故a_n=1+（n-1）×1=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n，從而b_n+1-b_n=2ⁿ，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=2^n-1+2^n-2+…+2³+2¹+1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，此題為中檔題．