Question

如圖，橢圓C：

x2

4

+

y2

m

=1（0＜m＜4）的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3），求m的值；
（2）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得OP⊥OM，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意，M是線段AP的中點(diǎn)，求出M的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求m的值；
（2）設(shè)M（x₀，y₀），則

x 2 0

4

+

y 2 0

m

=1，因?yàn)镺P⊥OM，所以x0(2x0+2)+2y02=0．兩式聯(lián)立，表示出m，利用基本不等式即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意，M是線段AP的中點(diǎn)，
因?yàn)锳（-2，0），P（4，3），
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，

3

2

)．
由點(diǎn)M在橢圓C上，所以

1

4

+

9

4m

=1，
解得m=3．
（2）設(shè)M（x₀，y₀），則

x 2 0

4

+

y 2 0

m

=1①，由題意知-2＜x₀＜2．
因?yàn)镸是線段AP的中點(diǎn)，所以P（2x₀+2，2y₀）．
因?yàn)镺P⊥OM，所以x0(2x0+2)+2y02=0．②
由①②消去y₀，整理可得m=

4x0(x0+1)

x02-4

=4+

4

(x0+4)+ 12 x0+4 -8

≤2-

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=-4+2

3

時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)?＜m＜4，
所以m的最大值是2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確表示點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．