Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx-4在區(qū)間[-2，1]上的兩個(gè)端點(diǎn)處取得最大值和最小值．
（1）求實(shí)數(shù)m的所有取值組成的集合A；
（2）試寫出f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值g（m）；
（3）設(shè)h（x）=-

1

2

x2+

1

2

x+7，令F（m）=

g(m)，m∈A h(m)，m∈B

，其中B=∁_RA，若關(guān)于m的方程F（m）=a恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,補(bǔ)集及其運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）問題等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上是單調(diào)函數(shù)，由二次函數(shù)可得-

m

2

≥1，或-

m

2

≤-2，解得不等式即可；
（2）分類討論結(jié)合單調(diào)性可得：當(dāng) m≥4時(shí)g（m）=f（1）=m-3，當(dāng)m≤-2時(shí)g（m）=f（-2）=-2m．
（3）由題意可知F（m）=

m-3，m≥4 -2m，m≤-2 - 1 2 m2+ 1 2 m+7，-2＜m＜4

，問題等價(jià)于y=F（m）的圖象與y=a的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合易得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+mx-4在區(qū)間[-2，1]上的兩個(gè)端點(diǎn)處取得最大值和最小值，
∴函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上是單調(diào)函數(shù)，
又∵函數(shù)f（x）的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=-

m

2

∴必有-

m

2

≥1，或-

m

2

≤-2，解得m≥4或 m≤-2，
∴實(shí)數(shù)m的所有取值組成的集合A={m|m≥4或 m≤-2}；
（2）當(dāng) m≥4時(shí)，-

m

2

≤-2，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的最大值g（m）=f（1）=m-3；
當(dāng)m≤-2 時(shí)，-

m

2

≥1，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）的最大值g（m）=f（-2）=-2m．
（3）由題意可知F（m）=

m-3，m≥4 -2m，m≤-2 - 1 2 m2+ 1 2 m+7，-2＜m＜4

，
關(guān)于m的方程F（m）=a恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y=F（m）的圖象與y=a的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
作圖可知實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a＞

57

8

或1＜a＜4

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)區(qū)間的最值，涉及數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的交點(diǎn)，屬中檔題．