Question

【題目】近日，某公司對其生產(chǎn)的一款產(chǎn)品進行促銷活動，經(jīng)測算該產(chǎn)品的銷售量P（單位：萬件）與促銷費用x（單位：萬元）滿足函數(shù)關(guān)系：p=3﹣ （其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品件數(shù)為P（單位：萬件）時，還需投入成本10+2P（單位：萬元）（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為（4+ ）元/件，假定生產(chǎn)量與銷售量相等．
（1）將該產(chǎn)品的利潤y（單位：萬元）表示為促銷費用x（單位：萬元）的函數(shù)；
（2）促銷費用x（單位：萬元）是多少時，該產(chǎn)品的利潤y（單位：萬元）取最大值？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，y=（4+ ）p﹣x﹣（10+2p），

將p=3﹣ 代入化簡得：y=26﹣ ﹣x（0≤x≤a）；

（2）解：y′=﹣ ，

當(dāng)a≥1時，x∈（0，1）時y'＞0，所以函數(shù)26﹣ ﹣x在（0，1）上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈（1，a）時y'＜0，所以函數(shù)26﹣ ﹣x在（1，a）上單調(diào)遞減，

從而促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；

當(dāng)a＜1時，因為函數(shù)26﹣ ﹣x在（0，1）上單調(diào)遞增，

所以在[0，a]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=a時，函數(shù)有最大值．

即促銷費用投入a萬元時，廠家的利潤最大．

綜上，當(dāng)a≥1時，促銷費用投入1萬元，廠家的利潤最大，為23 萬元；

當(dāng)a＜1時，促銷費用投入a萬元，廠家的利潤最大，為26﹣ ﹣a 萬元

【解析】（1）根據(jù)產(chǎn)品的利潤=銷售額﹣產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號成立的條件．