Question

【題目】已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）設(shè)為橢圓上非長軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，若與的內(nèi)切圓面積相等，求證：線段的長度為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，，理由見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的焦距為，根據(jù)的面積計算出，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出的值由此可求出橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，，，由，可得出，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，代入，求出實(shí)數(shù)的值，即可求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)，，，由題意得出，化簡得出，可求出正數(shù)的值，從而得出結(jié)論.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)?/span>的面積為，所以，設(shè)橢圓的方程為，

將代入方程得，，

易知，所以，因此，橢圓的方程為；

（2）存在這樣的點(diǎn)為，下面證明：

設(shè)，，，所以要使得，

即 ①；

聯(lián)立，

由韋達(dá)定理得，，

代入可將①化簡為，要使得式子關(guān)于恒成立，即此時，

所以點(diǎn)；

（3）設(shè)點(diǎn)，，，

因?yàn)閮?nèi)切圓面積相等，即圓半徑相等，而內(nèi)切圓半徑公式為三角形面積的倍除以周長，所以，化簡得，

故，

因?yàn)?/span>，代入得．

而，，

而，所以，即線段的長度為定值．