Question

如圖，已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，BC=3，BC₁=5，點D在線段AB上，AD=3，BD=2，四邊形ACC₁A₁為正方形．
（1）求證：BC⊥AC₁；
（2）請判斷AC₁是否平行于平面B₁CD（不用證明）；
（3）求三棱錐C₁-CDB₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）運用勾股定理得出BC⊥AC，BC⊥CC₁而CC₁∩AC=C，再用判斷定理得出BC⊥平面AA₁C₁C，BC⊥AC₁
（2）根據(jù)直線平面平行的判斷定理推導(dǎo)得出：AC₁與平面B₁CD不平行，
（3）根據(jù)體積公式得出VC1-B1DC=VD-B1C1C=

2

5

VA-B1C1C．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
△BCC₁中，BC=3，CC₁=4，BC₁=5，
∴BC⊥CC₁而CC₁∩AC=C，．
∴BC⊥平面AA₁C₁C，BC⊥AC₁．

（2）AC₁與平面B₁CD不平行．

（3）由已知易知AC⊥平面BCC₁，AB：DB=5：2，
∴VC1-B1DC=VD-B1C1C=

2

5

VA-B1C1C=

2

5

×

1

3

×

1

2

×3×4×4=

16

5

，

點評：本題考查了空間直線平面的平行，垂直，體積，面積問題，屬于中檔題，難度不大．