如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，A，C分別是雙曲線虛軸的上下頂點，B是雙曲線的左頂點，F(xiàn)為雙曲線的左焦點，直線AB與FC相交于點D．若雙曲線的離心率為2，則∠BDF的余弦值是
 
．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：利用雙曲線的簡單性質求出直線方程，求出三角形三個頂點的坐標，利用余弦定理求得cos∠BDF的值．
解答： 解答：解：由題意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F(xiàn)（-c，0），
c
a
=2．
∴BF=c-a=a，BD 的方程為
x
-a
+
y
b
=1，即bx-ay+ab=0，
DC的方程為 
x
-c
+
y
-b
=1，即 bx+cy+bc=0，即 bx+2ay+2ab=0，
由
bx-ax=ab=0
bx+2ay+2ab=0
，
得 D（-
4a
3
，-
b
3
），又 b=
c2-a2
=
3
a，
∴FD=
(-c+
4
3
a)2+
b2
9
=
7a2
9
，
BD=
(-a+
4
3
a)2+
b2
9
=
4a2
9
，
三角形BDF中，由余弦定理得 a2=
7
9
a2+
4
9
a2-2
7
9
a2
•
4
9
a2
cos∠BDF，
∴cos∠BDF=
7
14
．
故答案為：
7
14
．
點評：本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意余弦定理和雙曲線簡單性質的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（-c，0）、F2（c，0）是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點，點M在橢圓E上．
（Ⅰ）若∠F1MF2的最大值是
π
2
，求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）設直線x=my+c與橢圓E交于P、Q兩點，過P、Q兩點分別作橢圓E的切線l1，l2，且l1與l2交于點R，試問：當m變化時，點R是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線E：
x2
a2
-
y2
4
=1（a＞0）的中心為原點O，左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
3
5
5
，點P是直線x=
a2
3
上任意一點，點Q在雙曲線E上，且滿足
PF2
•
QF2
=0．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）若點P的縱坐標為1，過點P作動直線l與雙曲線右支交于不同兩點M，N，在線段MN上取異于點M，N的點H，滿足
|PM|
|PN|
=
|MH|
|HN|
，證明點H恒在一條定直線上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2，且點（
2
，
6
2
）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點A，B分別是橢圓C的左右頂點，直線經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓C上異于點A，B的任意一點，直線AP交于點M，設直線OM，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1•k2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知∠BAC在平面α內，PA是α的斜線，若∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，PA=a，則點P到α的距離是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當x＞0時f（x）=x2-2x，若關于x的方程f（x）=a有且僅有2個解，則實數(shù)a等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列五個命題：
①若
AB
=
DC
，則A、B、C、D四點是平行四邊形的四個頂點；
②已知非零向量
AB
與
AC
滿足（
AB
|
AB
|
+
AC
|AC|
）•
BC
=0，且
AB
|
AB
|
•
AC
|AC|
=
1
2
，則△ABC為等邊三角形；
③已知向量
a
=(-2，1)，
b
=(-3，0)，則
a
在
b
方向上的投影為2；
④y=sin|x|的周期為π；
⑤若向量
m
∥
n
，
n
∥
k
，則向量
m
∥
k
．
其中不正確的命題是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知變量x，y滿足條件
x≥0
y≤-x+3
y≥2x
，則
y
x-2
的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若平面區(qū)域Ω：
2x-y+2≥0
y-2≤0
y≥k(x+1)
的面積為3，則實數(shù)k的值為（　�。�
A、
1
3
B、
1
2
C、
4
5
D、
3
2

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