Question

【題目】已知橢圓的長軸為，且過點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，且，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線與圓相切，證明見解析

【解析】

（1）由題意可得，代入的坐標(biāo)，可得，的方程，解方程可得橢圓方程；

（2）設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，其中，由得到，用坐標(biāo)表示后把用含有點(diǎn)的坐標(biāo)表示，然后分，的橫坐標(biāo)相等和不相等寫出直線的方程，然后由圓的圓心到的距離和圓的半徑相等，證明直線與圓相切.

（1）由題意可得，即，

又，解得，

即有橢圓的方程為；

（2）直線與圓相切.

證明如下：設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,，其中.

，

，即，

解得.

當(dāng)時(shí)，，代入橢圓的方程，得，

故直線的方程為，

圓心到直線的距離.

此時(shí)直線與圓相切.

當(dāng)時(shí)，直線的方程為,

即.

圓心到直線的距離

又，.

故.

此時(shí)直線與圓相切.

綜合得直線與圓相切.