Question

已知f（x）=

(sinx+cosx)2

2+2sin2x-cos22x

，若f（

3π

8

+

α

2

）=

13

18

，f（

π

8

-

β

2

）=5，且0＜α＜

π

4

，

π

4

＜β＜

3π

4

，則sin（α+β）的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：由題，解析式可化簡為f（x）=

(sinx+cosx)2

2+2sin2x-cos22x

=

1+sin2x

2+2sin2x-cos22x

=

1+sin2x

1+2sin2x+sin22x

=

1

1+sin2x

，再化簡f（

3π

8

+

α

2

）=

13

18

，f（

π

8

-

β

2

）=5，即可觀察出求sin（α+β）的值的方法．

解答： 角：∵f（x）=

(sinx+cosx)2

2+2sin2x-cos22x

=

1+sin2x

2+2sin2x-cos22x

=

1+sin2x

1+2sin2x+sin22x

=

1

1+sin2x

，
∴f（

3π

8

+

α

2

）=

1

1+sin( 3π 4 +α)

=

13

18

，解得sin(

3π

4

+α)=

5

13

，
f（

π

8

-

β

2

）=

1

1+sin( π 4 -β)

=5，解得sin(

π

4

-β)=-

4

5

，
又0＜α＜

π

4

，

π

4

＜β＜

3π

4

，
∴

3π

4

+α∈(

3π

4

，π)，

π

4

-β∈(-

π

2

，0)，
∴cos（

3π

4

+α）=-

12

13

，cos（

π

4

-β）=

3

5

，
∴sin（α+β）=sin[

3π

4

+α-(

π

4

-β)-

π

2

]
=-cos[

3π

4

+α-(

π

4

-β)]
=-[cos(

3π

4

+α)cos(

π

4

-β)+sin(

3π

4

+α)sin(

π

4

-β)]
=-[-

12

13

×

3

5

+

5

13

×（-

4

5

]
=

56

65

．
故答案為：

56

65

點(diǎn)評：本題考查三角恒等變換公式的應(yīng)用，利用三角恒等變換公式求值熟練掌握公式很關(guān)鍵，本題考查了用已知表示未知的變換思想，這是三角函數(shù)求值中常用的技巧