Question

如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2．

(Ⅰ)證明：平面PBE⊥平面PAB；

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一(Ⅰ)如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．因?yàn)?I>E是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因?yàn)?I>PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE．而AB＝A，因此BE⊥平面PAB． 　　又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB． 　　(Ⅱ)延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF．過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB于H，由(Ⅰ)知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE． 　　在Rt△ABF中，因?yàn)椤?I>BAF＝60°，所以，AF＝2AB＝2＝AP． 　　在等腰Rt△PAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG． 　　則AG⊥PF．連結(jié)HG，由三垂線(xiàn)定理的逆定理得，PF⊥HG． 　　所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(銳角)． 　　在等腰Rt△PAF中， 　　在Rt△PAB中， 　　所以，在Rt△AHG中， 　　故平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是 　　解法二　如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)， 　　(Ⅰ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1269/0017/a46055116fbbea88cdb291b79f8adb80/C/Image64.gif" width=102 height=45>，平面PAB的一個(gè)法向量是，所以共線(xiàn)．從而BE⊥平面PAB． 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1269/0017/a46055116fbbea88cdb291b79f8adb80/C/Image67.gif" width=41 height=17>平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB． 　　(Ⅱ)易知 　　設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得所以 　　設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得所以故可取 　　于是， 　　故平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是