Question

已知函數(shù)f（x）在定義域（-∞，1]上是減函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)k，使不等式f（-

1

2

）≥f（k²-sin²x）對一切實(shí)數(shù)x恒成立？若成立，求出k的取值范圍，若不成立，說明理由．

Answer 1

分析：先假設(shè)存在實(shí)數(shù)k滿足題意，再函數(shù)的單調(diào)性和不等式，列出對應(yīng)的不等式，注意自變量與定義域的關(guān)系，再由0≤sin²x≤1求出k的范圍即可．

解答：解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k滿足題意，
∵f（x）在定義域（-∞，1]上是減函數(shù)，
∴

- 1 2 ≤k2-sin2x k2-sin2x≤1

，即-1+k2≤sin2x≤

1

2

+k2一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∵0≤sin²x≤1，∴

-1+k2≤0 1 2 +k2≥1

，解得

1

2

≤k2≤1，
則-1≤k≤-

2

2

或

2

2

≤k≤1，
故當(dāng)-1≤k≤-

2

2

或

2

2

≤k≤1時(shí)不等式恒成立．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的值域的應(yīng)用，以及恒成立的轉(zhuǎn)化問題，屬于中檔題．