Question

已知已知函數(shù)f(x)=

x

2x+1

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，試比較2S_n與1的大�。�

Answer 1

分析：本題考查了函數(shù)和數(shù)列的關(guān)系、等差數(shù)列的證明、數(shù)列的求和等知識點．
（Ⅰ）根據(jù)所給函數(shù)f(x)=

x

2x+1

及數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）即可獲得{a_n}的遞推關(guān)系，然后通過推出

1

an+1

-

1

an

=2得到證明．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上易得a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

，由此不難想到“裂項法”求和．

解答：解：（Ⅰ）由已知得，an+1=

an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

+2，即

1

an+1

-

1

an

=2．
∴數(shù)列{

1

an

}是首項，公差d=2的等差數(shù)列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

an

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴an=

1

2n-1

(n∈N*)，（8分）
∴anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，（10分）
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃++a_na_n+1=

1

1×3

+

1

3×5

++

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．（14分）
∴2Sn-1=

2n

2n+1

-1=

-1

2n+1

＜0（n∈N^*），∴2S_n＜1．（16分）

點評：本題綜合性較強，涉及了多個知識點的融合，揭示了函數(shù)和數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，并且在構(gòu)造數(shù)列，證明等差數(shù)列，裂項求和等方面設(shè)計了很好的情景，是一個培養(yǎng)邏輯推理能力和思維能力的好題，而且也代表了目前高考試題的方向．