已知函數(shù)f(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若對任意的實(shí)數(shù)x∈[
1
6
，
1
2
]，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）若關(guān)于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
分析：（I）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出兩個根，判斷出根兩邊的導(dǎo)數(shù)的符號，求出函數(shù)的極值即最值．
（II）分離出參數(shù)a，構(gòu)造兩個新函數(shù)，通過求導(dǎo)數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，求出a的范圍．
（III）分離出參數(shù)b，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，求出參數(shù)b的范圍．
解答：解：（I）f′(x)=
3
2+3x
-3x=
-3(x+1)(3x-1)
3x+2
，令f'（x）=0，得x=
1
3
或x=-1（舍）
當(dāng)0≤x＜
1
3
時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)
1
3
＜x≤1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴f(
1
3
)=ln3-
1
6
是函數(shù)在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞-ln
3
2+3x
對x∈[
1
6
，
1
2
]恒成立
若ln
3
2+3x
＞0即x∈[
1
6
，
1
3
 )恒成立
由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得a＞lnx-ln
3
2+3x
或a＜lnx+ln
3
2+3x

設(shè)h(x)=lnx-ln
3
2+3x
= ln
2x+3x2
3
；g(x)=lnx+ln
3
2+3x
= ln
3
2+3x

依題意得a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[
1
3
，
1
2
]恒成立
∵g′(x)=
2
x(2+3x)
＞0，h′(x)=
2+6x
2x+3x2
＞0
∴g（x），h（x）都在[
1
3
，
1
2
]上遞增
∴a＞h(
1
2
)或a＜g(
1
3
)
即a＞ln
7
12
或a＜ln
1
3

（3）由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b=0，
令?(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b，則?′(x)=
3
2+3x
-3x+2=
7-9x2
2+3x

當(dāng)x∈[0，
7
3
]時，?'（x）＞0，于是?（x）在[0，
7
3
]上遞增；當(dāng)x∈[
7
3
，1]時，?'（x）＜0，于是?（x）在[
7
3
，1]上遞減，而?(
7
3
)＞?(0)，?(
7
3
)＞?(1)∴f（x）=-2x+b即?（x）=0在[0，1]上恰有兩個不同實(shí)根等價于
?(0)=ln2-b≤0
?(
7
3
)ln(2+
7
)-
7
6
+
2
7
3
-b＞0
?(1)=ln5+
1
2
-b≤0
，解得ln5+
1
2
≤b＜ln(2+
7
)-
7
6
+
2
7
3
點(diǎn)評：解決不等式恒成立求參數(shù)的范圍，通常通過構(gòu)造新函數(shù)，通過新函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)一步求出參數(shù)的范圍．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實(shí)數(shù)a，b的值：
（2）當(dāng)a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2，若過兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實(shí)數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當(dāng)1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點(diǎn)的個數(shù)．

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