Question

若正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2a_n•S_n=a_n²+1（n∈N₊），則通項(xiàng)a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由已知的數(shù)列遞推式求得a₁，且得到an-

1

an

=an-1+

1

an-1

，代入a₁后求得a₂，再求得a₃，猜測(cè)出數(shù)列
{a_n}的通項(xiàng)公式an=

n

-

n-1

．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：由2a_n•S_n=a_n²+1，
得2a1•S1=a12+1，即a12=1．
∵a_n＞0，∴a_n=1．
由2a_n•S_n=a_n²+1，得2Sn=an+

1

an

  ①，
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=an-1+

1

an-1

  ②，
①-②得an-

1

an

=an-1+

1

an-1

，
由a₁=1，得
a2=

2

-

1

，
a3=

3

-

2

，
…
猜測(cè)an=

n

-

n-1

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，a1=1=

1

-

1-1

，通項(xiàng)公式成立，
假設(shè)n=k時(shí)成立，即ak=

k

-

k-1

．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，由an-

1

an

=an-1+

1

an-1

，
得ak+1-

1

ak+1

=

k

-

k-1

+

1

k - k-1

=2

k

，
即ak+12-2

k

ak+1-1=0，解得ak+1=

k+1

-

k

，通項(xiàng)公式成立．
綜上，an=

n

-

n-1

．
故答案為：

n

-

n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了利用歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，是中檔題．