Question

函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則

1

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．

解答： 解：∵x=-2時(shí)，y=log_a1-1=-1，
∴函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（-2，-1）即A（-2，-1），
∵點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（2m+n）=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

2m

n

時(shí)取等號(hào)，

1

m

+

1

n

的最小值為3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和均值不等式等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了整體代換思想，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．