Question

已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
（1）從集合M中抽取兩個(gè)不同元素構(gòu)成子集{a₁，a₂}，求|a₁-a₂|≥2的概率；
（2）從集合M中抽取三個(gè)不同元素構(gòu)成子集{a₁，a₂，a₃}，求a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，設(shè)其公差為ξ（ξ＞0），求隨機(jī)變量ξ的概率分布于數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）記事件A為“|a₁-a₂|≥2”，共有

C

2 9

種取法．其中

.

A

包含{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，{5，6}，{6，7}，{7，8}，{8，9}8種情況，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出|a₁-a₂|≥2的概率．
（2）ξ的所有可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）記事件A為“|a₁-a₂|≥2”，則

.

A

為“|a₁-a₂|＜2”，
共有

C

2 9

種取法．其中

.

A

包含{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，
{5，6}，{6，7}，{7，8}，{8，9}8種情況，
∴P（A）=1-P（

.

A

）=1-

8

C 2 9

=

7

9

，
∴|a₁-a₂|≥2的概率為

7

9

．
（2）ξ的所有可能取值為1，2，3，4，
構(gòu)成公差ξ（ξ＞0）的等差數(shù)列的情況有16種，
ξ=1時(shí)，有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，
{5，6，7}，{6，7，8}，{7，8，9}7種，
∴P（ξ=1）=

7

16

；
ξ=2時(shí)，有{1，3，5}，{2，4，6}，{3，5，7}，{4，6，8}，{5，7，9}5種，
∴P（ξ=2）=

5

16

；
ξ=3時(shí)，有{1，4，7}，{2，5，8}，{3，6，9}3種，
∴P（ξ=3）=

3

16

；
ξ=4時(shí)，有{1，5，9}1種，
∴P（ξ=4）=

1

16

，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	7 16	5 16	3 16	1 16

Eξ=1×

7

16

+2×

5

16

+3×

3

16

+4×

1

16

=

15

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．