在△ABC中，滿足：
AB
⊥
AC
，M是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
與向量2
AB
+
AC
的夾角的余弦值；
（Ⅱ）若O是線段AM上任意一點(diǎn)，且|AB|=|AC|=
2
，求
OA
•
OB
+
OC
•
OA
的最小值．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（I）利用向量的數(shù)量積公式變形，設(shè)向量
AB
+2
AC
與向量2
AB
+
AC
的夾角為θ，得到cosθ的值；
（II）通過解三角形求出AM的長，設(shè)OA的長度為x，得到OM=1-x，利用向量的平行四邊形法則得到
OB
+
OC
=2
OM
，利用向量的數(shù)量積公式將
OA
•
OB
+
OC
•
OA
表示為x的函數(shù)求最值．
解答： 解：（I）設(shè)向量
AB
+2
AC
與向量2
AB
+
AC
的夾角為θ，
∴cosθ=
(
.
AB
+2
AC
)•(2
AB
+
AC
)
|
AB
+2
AC
||2
AB
+
AC
|
，
設(shè)|
AB
|=|
AC
|=a，∵
AB
⊥
AC
，
∴cosθ=
2a2+2a2
5
a
5
a
=
4
5
；
（II）∵|AB|=|AC|=
2
，
∴|
AM
|=1
設(shè)|
OA
|=x，則|
OM
|=1-x，而
OB
+
OC
=2
OM
，
∴
OA
•
OB
+
OC
•
OA
=
OA
•(
OB
+
OC
)=
OA
•2
OM
=2|
OA
||
OM
|cosπ=-2x（1-x）=2x2-2x=2（x-
1
2
）2-
1
2
，
當(dāng)且僅當(dāng)x=
1
2
時(shí)，
OA
•
OB
+
OC
•
OA
的最小值是-
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用向量的數(shù)量積公式解決向量的夾角問題以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
（1）從集合M中抽取兩個(gè)不同元素構(gòu)成子集{a1，a2}，求|a1-a2|≥2的概率；
（2）從集合M中抽取三個(gè)不同元素構(gòu)成子集{a1，a2，a3}，求a1，a2，a3成等差數(shù)列，設(shè)其公差為ξ（ξ＞0），求隨機(jī)變量ξ的概率分布于數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tan（α+β）=
2
5
，tan(β-
π
4
)=
1
4
，那么tan（α+
π
4
）的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列函數(shù)中，與函數(shù)y=
1
x
有相同定義域的是（　　）
A、f(x)=
x
x
B、f(x)=
1
x
C、f（x）=|x|
D、f(x)=
x-1
x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足
a+c
b
=
sinA-sinB
sinA-sinC

（1）求角C；
（2）若c=
3
，a+b=3，求△ABC的面積S△ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a∈R，命題p：實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+2=0的兩根都是虛數(shù)；命題q：存在復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足|z|=2且|z+a|=1．
（1）若命題p中根的虛部為整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若命題p、q同為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax-
1
x
-a+1，當(dāng)a＞0，求關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若sinα-2cosα=0，則
1
cos2α+sin2α
的值為（　　）
A、-2B、-1C、1D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，
Sn
n
），n∈N*在直線y=x-13上．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）指出n取何值時(shí)Sn取得最小值，并求出Sn的最小值；
（3）若數(shù)列{bn}滿足bn=（
1
2
） an+13，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．

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同步練習(xí)冊(cè)答案